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Dijkstra算法
单源最短路径算法，可以一次性求出源点u到其他所有点的最短路径。
算法思路：
- 将所有顶点分为已访问和未访问两类，初始时只有源点
u是已访问的。 - 从已访问过的结点中找出与源点距离最近的点
t，再遍历该点的邻接点，如果邻接点未被访问过，则判断能否用t来更新这个点的最短路径，如果可以，更新邻接点的最短路径和前驱结点。遍历完t的邻接点后，设置t为已访问状态。 - 以上步骤重复n轮，即可完成全部点的最短距离和前戏结点的更新。以上步骤重复n轮，即可完成全部点的最短距离和前驱c结点的更新。
为了实现Dijkstra算法，需要以下额外变量用以记录状态：
dist数组：dist[i]表示顶点i到源点的最短距离，初始时只有源点和与源点直接相邻的点有数值，其他点为无穷大。visited数组：记录顶点是否被访问过。p数组：p[i]表示i到源点的最短路径上的前一跳，初始时只有源点和与源点直接相邻的点有数值，其他点为-1。
如果只需要求最短路径距离的值，不需要关注到底是哪一条路径，则可以省略p数组。
Dijkstra算法本质是贪心算法，每一步都是当前状态的最优解。
以下是朴素版本的Dijkstra算法实现：
| 代码块 |
|---|
#define MAXN 1005
#define INF 0x3f3f3f3f
int G[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵，G[u][v]表示顶点u到顶点v的距离，或者为INF，表示u、v之间不存在边
int n; // 顶点数
int dist[MAXN]; // dist[i]表示顶点i到源点的最短距离，初始时只有源点和与源点直接相邻的点有数值，其他点为INF
int p[MAXN]; // p[i]表示i到源点的最短路径上的前一跳，初始时只有源点和与源点直接相邻的点有数值，其他点为-1
int visited[MAXN]; // 表示顶点i是否已访问过
void dijkstra(int u) { // 计算源点u到其他各点的最短距离
// 初始化
for(int i = 0; i < n; i++) {
visited[i] = false;
dist[i] = G[u][i]; // 初始化源点到其他各顶点的距离，可能为INF
p[i] = (dist[i] == INF ? -1 : u); // 与源点相邻，设置前戏结点为u，不相邻，设置前驱结点为与源点相邻，设置前驱结点为u，不相邻，设置前驱结点为-1
}
// 从源点u开始
dist[u] = 0;
visited[u] = true;
// 对所有顶点进行松弛操作
for(int i = 0; i < n; i++) {
// 找出剩余顶点中离源点最近的点
int tmp = INF, t = u;
for(int j = 0; j < n; j++) {
if(!visited[j] && dist[j] < tmp) {
t = j;
tmp = dist[j];
}
}
if(t == u) return;
visited[t] = true;
for(int j = 0; j < n; j++) { // 更新t的邻接点的最短路径长度，松弛操作
if(G[t][j] != INF && !visited[j] && dist[j] > dist[t] + G[t][j]) {
dist[j] = dist[t] + G[t][j];
p[j] = t;
}
}
}
} |
| 目录 |
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